基于泰勒展开的不确定性传递

07 Oct 2016

1 两个输入变量

假设随机变量$Z$是随机变量$X$和随机变量$Y$的函数，函数关系如下

$$Z=f(X,Y)$$

其中$X$和$Y$的均值分别为$\overline{X}$和$\overline{Y}$，方差分别为$D_{X}$¹和$D_{Y}$，协方差为$D_{XY}$。对$Z$进行关于$\overline{X}$和$\overline{Y}$泰勒展开可以得到

$$Z=f(\overline{X},\overline{Y})+f_{X}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})(X-\overline{X})+f_{Y}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})(Y-\overline{Y})+o(X,Y)$$

如果忽略高阶项$o(X,Y)$，那么根据随机变量求和的期望和方差计算公式

$$\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)$$

和

$$\text{var}(X+Y)=\text{var}(X)+\text{var}(Y)+2\text{cov}(X,Y)$$

可以得到$Z$的期望值与方差值分别如下

$$\overline{Z}=f(\overline{X},\overline{Y})$$

和

$$D_{Z}=f_{X}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{X}+f_{Y}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{Y}+2f_{X}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})f_{Y}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})D_{XY}$$

如果我们对$X$、$Y$和$Z$取对数，那么理论上存在

$$\ln Z=g(\ln X,\ln Y)$$

根据泰勒展开公式，有

$$\begin{align} \ln Z & =g(\overline{\ln X},\overline{\ln Y})+g_{\ln X}^{\prime}(\overline{\ln X},\overline{\ln Y})(\ln X-\overline{\ln X})+\nonumber \\ & g_{\ln Y}^{\prime}(\overline{\ln X},\overline{\ln Y})(\ln Y-\overline{\ln Y})+o(\overline{\ln X},\overline{\ln Y}) \end{align}$$

其中

$$\begin{align} g_{\ln X}^{\prime}(\overline{\ln X},\overline{\ln Y}) & =\left[\dfrac{\partial\ln Z}{\partial\ln X}\right]_{\ln X=\overline{\ln X},\,\ln Y=\overline{\ln Y}}\\ & =\left[\dfrac{\partial Z}{Z}/\dfrac{\partial X}{X}\right]_{X=\overline{X},\,Y=\overline{Y}}\\ & =S_{X}(\overline{X},\overline{Y}) \end{align}$$

这里$S_X$表示参数$X$的相对敏感性系数(类似于经济学中的弹性系数)²。根据以上推导可以得到$\ln Z$的期望值与方差值分别如下

$$\overline{\ln Z}=g(\overline{\ln X},\overline{\ln Y})$$

和

$$\begin{align} D_{\ln Z} & =S_{X}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{\ln X}+S_{Y}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{\ln Y}+\nonumber \\ & 2S_{X}(\overline{X},\overline{Y})S_{Y}(\overline{X},\overline{Y})D_{\ln X\ln Y} \end{align}$$

2 多个输入变量

对于更一般的情况，假设$Z$是变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$的函数

$$Z=f(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$$

同时有

$$\ln Z=g(\ln X_{1},\ln X_{2},\cdots,\ln X_{n})$$

那么$Z$的期望值与方差值分别如下

$$\overline{Z}=f(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})$$

和

$$\begin{align} D_{Z} & =\sum_{i=1}^{n}f_{X_{i}}^{\prime}(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})^{2}D_{X_{i}}+\nonumber \\ & \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f_{X_{i}}^{\prime}(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})f_{X_{j}}^{\prime}(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})D_{X_{i}X_{j}} \end{align}$$

以及$\ln Z$的期望值与方差值分别如下

$$\overline{\ln Z}=g(\overline{\ln X_{1}},\overline{\ln X_{2}},\cdots,\overline{\ln X_{n}})$$

和

$$\begin{align} D_{\ln Z} & =\sum_{i=1}^{n}S_{X_{i}}(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})^{2}D_{\ln X_{i}}+\nonumber \\ & \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}S_{X_{i}}(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})S_{X_{j}}(\overline{X}_{1},\overline{X}_{2},\cdots,\overline{X}_{n})D_{\ln X_{i}\ln X_{j}} \end{align}$$

3 举个例子

假设随机变量$Z$与随机变量$X$和随机变量$Y$满足如下的函数关系

$$Z=e^X\sin^2Y$$

这里$X\sim\mathcal{LN}(0.5,0.04)$，$Y\sim\mathcal{LN}(0.3,0.01)$，并且$X$和$Y$互相独立。分别将$Z$对$X$和$Y$求导，可以得到

$$\dfrac{\partial Z}{\partial X}=e^{X}\sin^{2}Y$$

和

$$\dfrac{\partial Z}{\partial Y}=2e^{X}\sin Y\cos Y$$

另外，对于$X\sim\mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)$，有

$$\mathbb{E}(X)=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^{2}}$$

和

$$\text{var}(X)=(e^{\sigma^{2}}-1)e^{2\mu+\sigma^{2}}$$

那么有$\overline{X}=1.682$，$D_{X}=0.115$，$\overline{Y}=1.357$，$D_{Y}=0.018$。则$Z$的期望值与方差值的计算结果分别如下

$$\overline{Z}=e^{\overline{X}}\sin^{2}\overline{Y}= 5.134$$

和

$$D_{Z}=f_{X}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{X}+f_{Y}^{\prime}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{Y}= 3.135$$

如果采用Monte Carlo随机模拟，估算出的$\overline{Z}=5.37$，$D_{Z}=4.82$。

另外，$\ln Z$的期望值与方差值的计算结果分别如下

$$\overline{\ln Z}=\ln(e^{\overline{X}}\sin^{2}\overline{Y})= 1.636$$

和

$$D_{\ln Z}=S_{X}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{\ln X}+S_{Y}(\overline{X},\overline{Y})^{2}D_{\ln Y}= 0.117$$

如果采用Monte Carlo随机模拟，估算出的$\overline{\ln Z}=1.617$，$D_{\ln Z}=0.119$。

脚注